第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。
第二步，设有 x 家医院，根据向每家医院赠送 12 箱口罩和 8 箱防护服，还缺 8 箱口罩和 11 箱防护服，可得总的口罩箱数为 12x－8，防护服箱数为 8x－11，根据向每家医院赠送 10 口罩和 7 箱防护服，剩余的口罩比防护服多 20 箱，可得（12x－8－10x）-（8x－11－7x）＝20，解得 x＝17。则有 17 家医院，口罩 12×17－8＝196 箱，防护服 8×17－11＝125 箱。
第三步，由于每家医院捐赠相同的物资，且捐赠后没有剩余，125÷17＝7……6，故口罩还需采购 17－6＝11 箱，因为口罩和防护服按照 2∶1 的比例捐赠，故防护服需要采购（125＋11）×2－196＝76 箱，故口罩和防护服总计至少还需采购 11＋76＝87 箱。
因此，选择 D 选项。